Wenn Raumfahrer Fotos von Erde und Mond zeigen, so wie jetzt während des Mondflugs der Artemis-II-Mission, verwundern sich manche darüber, wie klein (oder groß) diese Himmelskörper aussehen. Dabei lässt sich mit simpelster Schulmathematik ausrechnen, wie groß sie in einem Foto erscheinen sollten, je nachdem, wie weit sie entfernt sind, und umgekehrt kann man aus der Größe im Bild und den Metadaten der Aufnahme die Entfernung berechnen.

Ich argwöhne ja, dass viele, die sich in den sozialen Medien verwundert geben, eigentlich der Sekte der Raumfahrtleugner angehören, falls es nicht bloße Bots sind Jedenfalls ist es erfahrungsgemäß sinnlos, ihnen die Gesetze der Perspektive und der fotografischen Abbildung zu erklären – das wollen sie gar nicht wissen. Dabei sind die Grundlagen nicht so schwer zu verstehen.

Wie groß die Erde in einem Foto wie dem Bild oben erscheint, hängt einerseits von ihrer Größe und Entfernung ab und andererseits von der Brennweite und dem Sensorformat. Genau genommen ist zwar nicht die Brennweite, sondern die Bildweite relevant, also der Abstand des Sensors vom Objektiv, aber bei einer Fokussierung auf Unendlich, wie sie für Fotos anderer Himmelskörper generell nötig ist, sind Bildweite und Brennweite ein und dasselbe.

Die nötigen Berechnungen erfordern keine höhere Mathematik, und wir brauchen dafür nicht einmal einen Taschenrechner mit Tangens- und Kotangens-Taste. Multiplikation, Division und die Kenntnis des Strahlensatzes reichen aus, also Themen, denen jeder während der Schulzeit mal begegnet sein sollte. Der Durchmesser der Erde, gemessen von Pol zu Pol, beträgt 12.713,5 Kilometer; so viel können wir der Wikipedia entnehmen. (Der Äquatordurchmesser ist ein kleines bisschen größer, die Erde also keine ganz perfekte Kugel, aber dass sie um die Hüften etwas zugelegt hat, ist mit bloßem Auge nicht zu erkennen.)

Weitere Informationen können wir den Exif-Metadaten der Bilddatei entnehmen, neben dem Aufnahmezeitpunkt unter anderem auch die verwendete Kamera (hier eine Nikon D5) und die Brennweite (24 mm). Die lichtempfindliche Fläche des Kleinbildsensors einer D5 misst laut Datenblatt 35,9 mm × 23,9 mm.

Falls sich jemand fragt, warum bei Artemis II eine zehn Jahre alte und schon lange nicht mehr im Handel erhältliche DSLR zum Einsatz kam: In der Raumfahrt setzt man generell auf bewährte, robuste und gerne auch ältere Technik. Testweise kam allerdings auch eine aktuelle Z9 desselben Herstellers mit an Bord, und jedes Besatzungsmitglied hat zusätzlich ein persönliches iPhone 17 Pro Max von Apple dabei. Bevor die NASA aber bereit wäre, sich vollends auf die aktuelle Technik zu verlassen, müsste diese erst unter Beweis stellen, dass sie den Bedingungen eines Raumflugs gewachsen ist. Die neuesten Chips mit ihren feinen Strukturen sind ebenso wie hochauflösende Sensoren besonders anfällig, wenn sie von energiereichen Teilchen der kosmischen Strahlung getroffen werden. So weit draußen im All bietet das Magnetfeld der Erde keinen Schutz mehr, und der Mond hat keines. (Der Mars übrigens auch nicht.)

Wie groß das Bild der Erdkugel auf dem Sensor war, können wir nun ausrechnen. Dazu messen wir zunächst die Höhe der Erde in Pixeln, wobei wir ein bisschen schätzen müssen, weil ihr unterster Punkt im Schatten liegt. Ich bin hier auf 147 Pixel gekommen.

Das Bild misst 3712 Pixel in der Höhe, und bei einer Sensorhöhe von 23,9 mm entsprechen den ausgezählten Pixeln 147 Pixel / 3712 Pixel × 23,9 mm = 0,947 mm (auf drei Nachkommastellen gerundet).

Aus den Gesetzen der optischen Abbildung ergibt sich, dass sich die Höhe des Bildes der Erde, also 0,947 mm, zur tatsächlichen Höhe der Erde (12.713,50 km) verhält wie die Brennweite (24 mm) zur Entfernung. Die Entfernung von Erde und Kamera war also 24 mm × 12.713,5 km / 0,947 mm = 322.201 km. Sehr präzise sind solche Berechnungen zwar nicht, auch weil man sich nicht hundertprozentig auf die Exif-Daten der Brennweite verlassen kann, aber das Ergebnis (gut drei Viertel der Entfernung Erde-Mond) kommt so ungefähr hin, was bedeutet, dass die Größe der Erde im Foto stimmig ist.

Rechnen wir nun einmal anders herum. Als Artemis II in der Nacht vom Montag auf Dienstag eine Schleife um den Mond flog, konnte die Besatzung erst einen Erduntergang beobachten, als die Erde hinter der Rückseite des Mondes verschwand, gefolgt rund 40 Minuten später von einem Erdaufgang. Da sich der Mond aus der Perspektive der Raumfahrer auch vor die Sonne schob, konnten sie eine Sonnenfinsternis erleben.

Zum Zeitpunkt dieser Aufnahme, wiederum mit einer Nikon D5, aber diesmal mit einem Telezoom und dessen Maximalbrennweite von 400 mm, dürfte die Raumkapsel rund 406.000 km von der Erde entfernt gewesen sein. Die Brennweite verhält sich zur Entfernung wie die scheinbare Größe der Erde zu ihrer tatsächlichen Größe – also wiederum 12.713,5 km. Das Bild der Erde müsste demnach 400 mm × 12.713,5 km / 406.000 km = 12,526 mm groß sein, wiederum auf drei Nachkommastelle gerundet. Bei einer Sensorhöhe von 23,9 mm und einer Bildhöhe von 3712 Pixeln entspricht das 3712 Pixeln × 12,526 mm / 23,9 mm = 1945 Pixeln. Schauen wir im Bild nach:

Da die Erde ja nicht vollständig zu sehen ist, habe ich einen Kreis eingeblendet, der der Kontur des sichtbaren Teils folgt, und dieser Kreis ist 1912 Pixel hoch. Das ist nicht weit von den erwarteten 1945 Pixeln entfernt, so dass die Abbildung der Erde auch in dieser Aufnahme stimmig erscheint. Die kleine Abweichung könnte darauf zurückzuführen sein, dass die längste Brennweite des 80–400-mm-Zooms den im Datenblatt genannten Wert vielleicht nicht ganz erreicht. In die Exif-Daten wird auch dann die nominelle Brennweite eingetragen.